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Alice & La Logica [Parte II]

Scritto da Elisa Massironi.

Esiste anche un percorso di logica matematica con cui comparare la creatura di Lewis Carroll. Se dicessi “questa tesi contiene almeno un errore”, per verificarla si dovrebbe leggerla tutta per intero.
Invece possiamo conoscere la verità fin da ora, seguendo un semplice ragionamento: se ci sono errori, ci sono, per ipotesi. E se non ce ne fossero, sarebbe falso, perché vi è quello che afferma: “questa tesi contiene almeno un errore”. Dunque, possiamo dire che un errore c’è, anche se non sappiamo quale sia. 
L’unico modo per scoprirlo è proseguire nella scoperta della logica matematica.
Cercando una definizione generica di “Logica” possiamo dire che è la scienza del ragionamento. Essa infatti si pone come obbiettivo lo studio del metodo di ragionamento utilizzato dall’uomo. Già partendo dalla definizione e dall’opinione comune possiamo affermare che alla base del ragionamento ci sia il metodo scientifico/matematico, che ormai è al fondamento del pensiero, soprattutto di quello occidentale. Ma nel momento in cui il metodo di questa scienza diventa anche il suo oggetto allora si parla di Logica Matematica.
Prendendo ispirazione dal mondo di Alice possiamo facilmente paragonare lo studio della logica ad una partita di scacchi:
- le pedine rappresentano l’insieme di premesse, che diamo per vere
- le regole, date dai procedimenti di deduzione che prevedono passaggi precisi
- le mosse sono i passaggi permessi dalle regole e che danno luogo a nuove proposizioni
- la vittoria nella logica è riconosciuta nel raggiungimento di una conclusione logica.



La Logica è una scienza che ha sempre incantato filosofi, scienziati e matematici fin dai tempi dell’antica Grecia:
La prima espressione di un’analisi logica la ritroviamo negli scritti dei sofisti che trattavano della Dialettica, ovvero l’arte del discorso, ed un grande ruolo ebbe il filosofo ateniese Platone. A lui infatti dobbiamo l’introduzione di nuovi concetti che nell’antichità non erano condivisi universalmente.
Essi sono:
• Il principio di identità: “ogni cosa è uguale a sé stessa”
• La negazione relativa e non più universale (es: “la rosa non è rossa” non significa che non è una rosa, ma solamente che è una rosa di un altro colore)
• Il principio di non contraddizione, non è possibile negare ed affermare una cosa nel medesimo tempo.
Inoltre introdusse un importante tema che sarebbe poi stato ripreso da Aristotele , sul quale pose le basi della logica che ci ha accompagnato fino alla fine del secolo scorso: la definizione di Verità, cioè: 
VERO = dire di ciò che è, che è, oppure dire di ciò che non è, che non è.
FALSO = dire di ciò che è,che non è, oppure dire di ciò che non è, che è.

Ma prima di analizzare le basi della Logica classica (verità e falsità)  dobbiamo comprendere le regole ed i tipi di mosse che il filosofo ateniese Aristotele utilizzò nel suo studio della Logica:

Il classico esempio di ragionamento logico deduttivo, largamente utilizzato nella tradizione linguistica, è certamente il sillogismo che si fonda sul principio della transitività dell’implicazione, tramite il quale da 2 premesse giunge ad una conclusione:

Se A→B e B→C , allora A→C

Svariati sono gli esempi di sillogismi che si possono trovare all’interno delle storie di Alice:
-Prendi dell’altro tè, - disse molto scrupolosamente la Lepre Marzola ad Alice.
-Non ne ho ancora avuto, - ribatté Alice con tono offeso; - quindi, non ne posso prendere di più.
- Vuoi dire che non ne puoi prendere di meno, -disse il Cappellaio; - è facilissimo prenderne un po’ più di niente. 



- Se era così, poteva esserlo; e se lo fosse, potrebbe esserlo; ma poiché non lo è, non é. Logico.  (Tweedledee)
- La regola è: marmellata domani e marmellata ieri, ma mai marmellata oggi. La marmellata è a giorni alterni: oggi non è alterno, sai. (la Regina Bianca)

Un altro contributo che lasciò Aristotele come base della logica è certamente lo studio analitico dei quantificatori, che possiamo schematizzare nella seguente tabella:



Queste parole nel ragionamento logico seguono una proprietà, secondo la quale un quantificatore insieme alla doppia negazione è sufficiente a ricostruire l’altro, passando dal particolare all’universale o viceversa: “tutti fanno il regalo” è equivalente alla frase “non è vero che qualcuno non fa il regalo”
“qualcuno fa il regalo” corrisponde alla frase “non è vero che tutti non fanno il regalo”.
Carroll, in “attraverso lo specchio” gioca sul fraintendimento e lo sconvolgimento dei quantificatori, nell’episodio del Messaggero Anglosassone, del settimo capitolo:

—Ti è capitato d'incontrare dei soldati, mia cara, mentre attraversavi il bosco?
—Oh, sì, — disse Alice; — diverse migliaia, direi.
— Quattromiladuecentosette per l’esattezza, — disse il Re, consultando il suo quaderno. — Non ho potuto mandare tutti i cavalli, sai, perché due di essi occorrevano per la partita. E non ho mandato neppure i due Messaggeri. Sono andati tutti e due in città. Da’ un’occhiata lungo la strada e dimmi se vedi qualcuno. 
— Nessuno vedo sulla strada, — disse Alice.
— Avessi io occhi siffatti, osservò il Re in tono stizzito.
— Riuscire a vedere Nessuno! Diamine, è già parecchio se io riesco a vedere le persone vere con questa luce!
Parole sprecate per Alice, che continuava a scrutare lungo la strada, facendosi schermo agli occhi con la mano. – Ora vedo qualcuno! – esclamò alla fine. – Ma si avvicina molto lentamente… e che curiosi atteggiamenti ha! […]



— Chi hai superato per strada? — continuò il Re, tendendo la mano al Messaggero per avere dell’altro maggese.
— Nessuno, — disse il Messaggero.
Perfetto, - disse il Re; - anche questa signorina l’ha visto. E così, naturalmente, Nessuno cammina più piano di te!
— Faccio del mio meglio, — disse il Messaggero con tono scontroso. – Sono sicuro che nessuno cammina più veloce di me! 
— Questo non è possibile, — disse il Re, — altrimenti sarebbe arrivato qui per primo. Comunque, ora che hai ripreso fiato, puoi dirci cosa è accaduto in città.  

Rimanendo nell’antica Grecia incontriamo Crisippo di Soli, il fondatore della logica proposizionale come la logica che studia la costruzione di proposizioni complesse a partire da variabili proposizionali, chiamate anche proposizioni atomiche, poste in relazione tra loro mediante i connettivi (e; non; o; se… allora).
Il filosofo stoico compì una descrizione analitica della verità e della falsità dei connettivi, riscontrando quattro famiglie principali di relazioni che intercorrono tra le proposizioni o parti della proposizione stessa: 
La negazione (¬, - )
La congiunzione (Λ , ∩)
La disgiunzione (V, U )
L’implicazione (→)



Queste sono le cosiddette definizioni vero-funzionali dei connettivi, che vennero poi studiate anche da Ludwig Wittgenstein che arrivò ad elaborare il teorema di completezza della logica proposizionale.  

Il connettivo più comune nei giochi logici è certamente quello della negazione, molto usato nei ragionamenti dei fantastici personaggi di Alice: certamente il più famoso è la dimostrazione dei non-compleanni di Humpty Dumpty.

-Voglio dire: cos’è un regalo di non-compleanno? 
- Un regalo fatto quando non è il tuo compleanno,naturalmente.
Alice rifletté un po’. - Mi piacciono di più i regali di compleanno, - disse infine.
-Tu non sai cosa stai dicendo! – gridò Humpty Dumpty. – Quanti giorni ci sono in un anno?
- Trecentosessantacinque, - disse Alice.
-E quanti compleanni hai?
- Uno.
- E se ne sottrai uno da trecentosessantacinque, quanto rimane?
- Trecentosessantaquattro, naturalmente.
Humpty Dumpty fece un’espressione dubbiosa. – Preferirei vederlo sulla carta, - disse.
Alice non poté fare a meno di sorridere mentre prendeva il suo quaderno di appunti e gli faceva l’operazione.         

La combinazione di negazione e disgiunzione permette la formulazione del classico principio del terzo escluso, le cui applicazioni al di fuori della logica suonano come dei non-sense anche quando sono corrette. Ad esempio ogni volta che il Cavaliere Bianco canta la sua canzone, agli ascoltatori “o vengono le lacrime agli occhi, oppure non vengono”, proviamo a tradurre questa proposizione in simboli:
A  V  ¬A
Se analizziamo questa proposizione secondo le regole sintattiche di Crisippo possiamo dimostrarne la verità  infatti è sufficiente che sia vera la proposizione  A “vengono le lacrime agli occhi” oppure la sua negazione ¬A.
Ragionando risulta ovvio: se vengono le lacrime agli occhi A è vera, nel caso la proposizione atomica fosse falsa,conseguentemente la sua negazione è vera, per questo concorderebbe con la condizione di verità della disgiunzione.

Lo studio della logica proseguì sulle basi poste dai filosofi greci: a metà del VII secolo con Leibniz si giunse all’ipotesi di ridurre il ragionamento ad un calcolo, secondo il Calculus Ratiocinator; ma soltanto due secoli più tardi nel 1850 un importante matematico inglese, George Boole affermò di voler “indagare le leggi fondamentali di quelle operazioni della mente per mezzo delle quali si attua il ragionamento; di dar loro espressione nel linguaggio simbolico di un calcolo e di istituire, su questo fondamento, la scienza della logica costituendone il metodo.
”Boole è considerato il padre della logica matematica moderna poiché sostenne un’interpretazione algebrica della logica conosciuta con il nome di algebra booleana.
Questo sistema formale si basa sul significato di logica come studio di ciò che è vero e studio di ciò che è falso, era quindi necessario associare a questi gradi di verità delle proposizioni atomiche degli oggetti di natura matematica: 
1 = Vero
0 = Falso
I connettivi invece rappresentano le operazioni logiche che vengono applicate alle variabili logiche:
La negazione corrisponde alla sottrazione algebrica, ed è una sottrazione da 1; proponiamo degli esempi per comprendere meglio:
1- 1 = 0      > la negazione di una proposizione vera, é falsa.
1- 0 = 1      > la negazione di una proposizione falsa, é vera.

La congiunzione invece è l’analogo del prodotto algebrico:
1 x 1 =  1                             > se tutti e due i congiunti sono veri, allora la proposizione è vera.
1x 0 = 0 x 1= 0 x 0 = 0       > se almeno uno dei due congiunti è falso, allora la proposizione è falsa.

Queste operazioni sono concordi con le definizioni di verità dei connettivi analizzate da Crisippo.
Quindi possiamo dire che l’algebra booleana è un modo di fare l’algebra, le quattro operazioni fondamentali ( +; -; x; /;) restringendole ai numeri 1 e 0.
L’applicazione dell’algebra booleana non è limitata all’ambito della logica.
Nella trattazione della disciplina della matematica questo tipo di algebra è facilmente collegabile al sistema numerico binario, il sistema numerico, (nota) (il sistema numerico posizionale in è un sistema numerico posizionale in base 2, cioè che utilizza 2 simboli, tipicamente 0 e 1, invece dei 10 del sistema numerico decimale tradizionale. Di conseguenza, la cifra in posizione n (da destra) si considera moltiplicata per 2(n − 1) anziché per 10(n − 1) come avviene nella numerazione decimale). la cui algebra coincide con quella booleana e viene largamente utilizzata nel calcolo elettronico e nell’informatica.
Un altro esempio di applicazione dell’algebra di Boole nella matematica è la probabilità, il tentativo di “catturare” matematicamente il caso.Quando si prendono due eventi indipendenti tra loro, sapendo la probabilità dell’uno e la probabilità dell’altro, la probabilità dell’evento composto consiste nel prodotto delle due singole probabilità.
Se ad esempio un evento succede se e solo se non succede l’altro, potremmo dire che la probabilità che quell’evento accada è il contrario della probabilità dell’altro.
La certezza matematica, ovvero la probabilità più certa di tutte è identificata con la probabilità 1, mentre la probabilità meno certa, la non probabilità è contrassegnata dalla probabilità 0.
Si crea così una corrispondenza tra logica e calcolo della probabilità:
Vero = 1 = Certo, NecessarioFalso = 0 = Impossibile

L’algebra booleana viene anche utilizzata per risolvere alcuni giochi logici elementari, come ad esempio Cavalieri e Furfanti, che sono i protagonisti degli indovinelli inventati da Raymond Smullyan. In questo rompicapo logico ci troviamo su un’isola fantastica, i cui abitanti possono essere cavalieri, che dicono sempre la verità, oppure sono furfanti, che mentono sempre.
Esistono diverse varianti di questi indovinelli: il visitatore solitamente approda sull’isola ed incontra piccoli gruppi di abitanti, e deve scoprire la “tipologia” di abitante a partire dalle affermazioni o dai fatti che gli vengono presentati.
Ora prendiamo in analisi una tra le varianti più semplici di questo tipo di indovinelli:
Arturo e Bernardo sono gli abitanti dell’isola dei cavalieri e dei furfanti.
Arturo dice: “Siamo entrambi furfanti”.
Di che tipo sono i 2 abitanti?
Secondo l’algebra booleana potremmo affrontare questo indovinello in questo modo:
Sia A vera se Arturo è un cavaliere e B vera se Bernardo è un cavaliere.
Allora, o Arturo è un cavaliere e quello che dice è vero o Arturo non è un cavaliere e quello che dice e falso.

Traducendo quanto appena detto in algebra booleana si ottiene:

(A Λ (¬ A Λ ¬ B))  V  (¬ A Λ ¬(¬ A Λ ¬ B))

≡ falso V (¬ A Λ ¬(¬ A Λ ¬ B)  perché la proposizione  (A Λ ¬ A) ≡ falso

perché una congiunzione è vera solo se sono veri tutti i suoi congiunti, ma se per ipotesi A è vera, allora ¬ A è falsa,quindi la proposizione è falsa.

≡ ¬ A Λ ¬(¬ A Λ ¬ B)   perché falso V X(vera)≡ X

perché sapendo che la prima proposizione è falsa nella relazione della disgiunzione possiamo ometterlo e passare all’analisi del secondo congiunto.

≡ ¬ A Λ (A V B)

Secondo la legge di Morgan vale l’equivalenza ¬ A Λ ¬ B = ¬ (A V B), ma ¬ ¬ (A V B) la doppia negazione si annulla, quindi possiamo dire che ¬(¬ A Λ ¬ B) = (A V B)

≡ (¬ A Λ A) V (¬ A Λ B)

Riconoscendo nella relazione della congiunzione l’analogo del prodotto algebrico, possiamo applicare la legge di distributività.

≡ ¬ A Λ B

Ma visto che la prima proposizione è falsa, manteniamo la seconda che ci dà la soluzione dell’indovinello: Infatti Arturo non è un cavaliere, è un furfante; mentre Bernardo è un cavaliere. 
Senza l’utilizzo dell’algebra booleana possiamo semplicemente verificare la correttezza di questo risultato: se Arturo fosse un cavaliere starebbe dicendo il vero, ma l’affermazione sarebbe in contrasto con l’ipotesi di partenza, ovvero Arturo è un cavaliere.
Quindi ipotizziamo che Arturo sia un furfante e che quindi l’affermazione fosse falsa, di conseguenza Bernardo non potrebbe essere un furfante (altrimenti la frase diventerebbe vera) ma deve essere necessariamente un cavaliere, verificando così la nostra soluzione.
Questo è solo un breve assaggio del vasto e intrigante mondo della Logica matematica.
Infatti lo studio di questa disciplina prosegue e si pone come obbiettivo quello di trovare quei principi logici universali che sembrano costituire le basi di una parte del ragionamento umano.